Родился 12 апреля 1907 года в поселке Минеральные Воды в семье служащего. В 1921 году переехали в Красные Баки Горьковской области. Работал учителем физкультуры. В 1931 году поступает в Ленинградский инженерно-строительный институт. Работал на Горьковском автомобильном заводе.
В боевых действиях с мая 1941 года. Командир саперной роты старший лейтенант Александр Прыгунов в конце сентября 1943 года при форсировании Днепра успешно обеспечил переправу личного состава, артиллерии и боеприпасов наступающих частей. Несмотря на то, что противник вывел из строя большую часть переправочных средств, на оставшемся пароме в ночь на 28 сентября 1943 года было переправлено свыше 500 бойцов, 17 артиллерийских орудий с расчётами.29 сентября гитлеровцы предпринимали отчаянные попытки, чтобы сбросить десантников в реку. Серия бомб обрушилась в днепровскую воду. Были убиты несколько саперов и десантников, ранен Александр. Даже после второго ранения он продолжал работать со своими саперами. Третье ранение оказалось смертельным.
Указом <nobr>Президиума В. С.</nobr> СССР от 10 января 1944 года за мужество и героизм ст. лейтенанту Прыгунову Александру Васильевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Именем Героя в Нижнем Новгороде названа одна из улиц Автозаводского района.