Анатолий Арсентьевич родился 27 мая 1921 года в станице Усть-Бело-Калитвинской в хуторе Фаpштат Ростовской области.
1932−1939 год – учеба в школе № 1 в г. Новочеркасска, затем на рабфаке при Донском сельскохозяйственном институте.
Август 1940 года – 1941 год – по призыву комсомола учеба в Бакинском училище зенитной артиллерии.
Май 1942 года – направлен в действующую армию командиром взвода зенитной батареи 27-й танковой бригады 2-го танкового корпуса.
Воевал под Москвой, на Брянском, Сталинградском, Центральном фронтах, освобождал Белоруссию и левобережную Украину.
4 октября 1944 г. батарея под командованием <nobr>А. А. Забронского</nobr> заняла огневые позиции близ г. Вышкува (Польша). В середине дня появились немецкие танки. Завязалась огневая дуэль. Было подбито 5 танков, отражено 8 атак, уничтожено до батальона живой силы противника. Занятый рубеж был удержан. Но, сраженный осколком, А. Забронский погиб.
21 февраля 1945 года – присвоение звания Героя Советского Союза (посмертно).
Похоронен в городе Вышкув (Польша).