Алексей Годовиков родился в Москве. Отец Алексея был борт-механиком самолета и в 1937 г. как опытнейший специалист участвовал под командованием <nobr>С.А. Леваневского</nobr> в беспосадочном перелете через Северный полюс в США. Полет закончился трагически. Связь с самолетом прервалась и, несмотря на поиски, продолжавшиеся около года, самолёт так и не был найден. Экипаж пропал без вести. Алексей продолжил дело отца. Окончив планерную школу и поработав на заводе, поступил в Качинскую военную школу, участвовал в войне с финнами. Началась Великая Отечественная война. В конце августа 1941 г. истребительный авиационный полк, в котором служил военком 1-й эскадрильи политрук Годовиков, был направлен под Ленинград. Летал Годовиков безукоризненно. Его трезвая оценка воздушной обстановки, умелые действия в бою, знание наземных ориентиров и мягкое приземление у посадочного знака нравились летчикам полка. Алексей Годовиков был награжден орденом Красного Знамени за мужество, проявленное в боях на Ленинградском фронте. В конце октября 1941 года летный состав был отправлен в тыл для получения истребителей МиГ-3. Эти самолеты охраняли Вологодскую область, западные районы которой оказались в зоне военных действий. Истребительная авиационная дивизия, где состоял Алексей, занималась охраной участка железной дороги Череповец – Вологда. За неполных полгода войны за Алексеем Годовиковым числилось три сбитых самолета врага.
За храбрость и мужество, проявленные в боях с фашистскими захватчики, Алексею Годовикову посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Алексей Годовиков был похоронен в Череповце, небо которого он охранял от вражеских налетов. Кроме памятника герою на Соборной горке, в городе также есть улица его имени.