Родился 14 августа 1922 года в селе Нижний Дженгутай Буйнакского района Дагестанской АССР (ныне Республика Дагестан, Россия) в крестьянской семье. По национальности кумык. Член ВКП (б)/КПСС с апреля 1944 года. Окончил 7 классов. Работал учителем. В 1941 году окончил юридическую школу.
С 1941 года в рядах Военно-Морского Флота. В 1942 году окончил военно-морское авиационное училище лётчиков.

На фронте с сентября 1943 года. Боевое крещение принял на Черноморском флоте, под Новороссийском (с 1973 года – город-герой).

К июлю 1944 года командир 2-й авиационной эскадрильи 47-го штурмового авиационного полка (11-я штурмовая авиационная дивизия, ВВС Краснознамённого Балтийского флота) капитан <nobr>Ю. А. Акаев</nobr> совершил 104 боевых вылета, уничтожил 18 различных кораблей, 3 паровоза, 11 танков, 72 автомашины, 4 самолёта, 5 торпедных катеров и много другой боевой техники противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм капитану Акаеву Юсупу Абдулабековичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4332).

Награждён орденами: Ленина, Красного Знамени (трижды), Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени; медалями.
После окончания войны продолжал служить в ВМФ. С 1948 года майор <nobr>Ю. А. Акаев</nobr> – в отставке. Умер 19 ноября 1949 года на 28-м году жизни.

Памятники Герою установлены в городе Махачкала Республики Дагестан по проспекту Расула Гамзатова и около Буйнакского педагогического училища. Имя Героя носит базовый тральщик проекта 1265.