А. Е. Боровых родился 30 октября 1921 года в городе Курске в семье рабочего. В 1936 году окончил среднюю школу. В рядах Красной армии с 1940 года. Окончил Чугуевское военное авиационное училище в 1940 году. С декабря 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны.
За два года войны (1942 и 1943) на Калининском и Центральном фронтах совершил 341 боевой вылет, проявляя в воздушных боях мужество и отвагу, лично сбил 12 самолётов противника и 14 самолётов в группе. За эти подвиги младшему лейтенанту Боровых Андрею Егоровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
За образцовое выполнение заданий, совершённые ещё 132 успешных боевых вылета, в которых было сбито 19 самолётов противника, и проявленный при этом героизм командиру эскадрильи, капитану Боровых Андрею Егоровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года вручена вторая медаль «Золотая Звезда» Героя Советского Союза. Всего за годы войны он совершил более 470 боевых вылетов, провёл свыше 130 воздушных боёв, сбил лично 32 и в группе 14 вражеских самолётов.
Похоронен Боровых на Новодевичьем кладбище.
Бюст дважды Герою Советского Союза, уроженцу г. Курска, Андрею Егоровичу Боровых торжественно открыт на митинге трудящихся города 16 сентября 1948 года в присутствии лётчика. Установлен в парке имени 1 Мая.