Борис Панин родился в Нижнем Новгороде в рабочей семье. Учился в школе № 4 Советского района, увлекался спортом, мечтал стать летчиком. После окончания 7 классов, работал на заводе имени М. В. Фрунзе.
В 1940 году был призван в армию, а в 1941 году окончил Энгельскую военную авиационную школу лётчиков.
С октября 1942 года участвовал в Великой Отечественной войне, был лётчиком, а затем командиром звена 321-го бомбардировочного авиационного полка.
Панин летал на пикирующем бомбардировщике Пе-2 и был одним из лучших летчиков соединения. Одним из первых он выполнил на Пе-2 фигуру высшего пилотажа «бочка», продемонстрировав возможность использовать бомбардировщик в качестве истребителя. Его инициатива вдвое увеличить бомбовую нагрузку нашла последователей среди других летчиков.
7 марта 1943 года при бомбометании по скоплению танков и пехоты противника группа самолётов Пе-2 попала под сильный огонь зенитной артиллерии. Панин, выйдя из строя, спикировал и подавил огонь двух батарей, обеспечив советским самолётам выполнение задания без потерь.
К августу 1943 года Панин совершил 57 боевых вылетов на бомбардировщике Пе-2 на бомбардировку важных объектов противника.
4 августа 1943 года Борис Панин и члены его экипажа — штурман Д. М. Адамянец и стрелок-радист В. П. Ермолаев — участвовали в освобождении Белгорода и погибли при выполнении боевого задания.
Памятник стоит на улице Бориса Панина в Нижнем Новгороде.
За мужество и героизм, проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 сентября 1943 года гвардии лейтенанту Панину Борису Владимировичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно). Приказом министра обороны СССР от 27 декабря 1957 года его имя навечно занесено в списки гвардейской авиационной части.
Похоронен в селе Иловка Алексеевского района Белгородской области в братской могиле 109 советских воинов, погибших в боях с фашистскими захватчиками.